Phương trình sóng

Mọi sóng đều thoả mãn một phương trình vi phân riêng phần gọi là phương trình sóng. Các phương trình sóng có thể có nhiều dạng, phụ thuộc vào môi trường truyền và kiểu lan truyền.

Dạng đơn giản nhất, dành cho sóng lan truyền theo phương x, theo thời gian t và dao động sóng thay đổi trên biến y:

1 v 2 ∂ 2 y ∂ t 2 = ∂ 2 y ∂ x 2 . {\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}y}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}y}{\partial x^{2}}}.}

Ở đây, v là vận tốc lan truyền sóng. Hàm sóng tổng quát thoả mãn phương trình trên, giải bởi d'Alembert, là:

y ( x , t ) = F ( x − v t ) + E ( x + v t ) {\displaystyle y(x,t)=F(x-vt)+E(x+vt)}

Một ví dụ khác về phương trình sóng là phương trình Schrödinger mô tả chuyển động của sóng hạt trong vật lý lượng tử. Nghiệm của phương trình này là hàm sóng mô tả xác suất tìm thấy hạt tại một điểm trong không-thời gian.

Trong một môi trường đồng nhất và đẳng hướng, Joseph Fourier đã tìm thấy là mọi hàm sóng sẽ có dạng tổng quát sau:

y ( x , t ) = F ( x − v t ) + E ( x + v t ) {\displaystyle y(x,t)=F(x-vt)+E(x+vt)}

có thể được miêu tả như là sự chồng nhau của nhiều sóng điều hoà

y ( x , t ) = A ( x , t ) cos ⁡ ( ω t − k x + φ ) , {\displaystyle y(x,t)=A(x,t)\cos(\omega t-kx+\varphi ),\,}

Ở đây A(x, t) là biên độ của sóng điều hòa, ω là tần số góc, k là số sóng và φ là pha ban đầu. Nếu biên độ của sóng không phụ thuộc thời gian:

A ( x , t ) = A ( x ) {\displaystyle A(x,t)=A(x)}

thì sóng gọi là sóng dừng.

Tần số góc liên hệ với tần số qua:

ω = 2 π f {\displaystyle \omega =2\pi f}

Còn số sóng liên hệ với vận tốc lan truyền v của sóng qua:

v = ω k = λ f , {\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}=\lambda f,}

Ở đây λ là bước sóng và f là tần số. Tần số f liên hệ với chu kỳ T qua:

f = 1 T {\displaystyle f={\frac {1}{T}}}

Mọi sóng điều hoà đều có thể đặc trưng bởi biên độ, tần số, vận tốc và pha. Ngoài ra, sóng có thể được mô tả theo phương dao động.